a,b,c 라는 점에 1,2,3 이라는 점을 모두 연결하되, 선이 서로 겹치거나 닿지 않아야 한다는 문제였습니다.
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보통 이런 문제는 그게 불가능하다는 것을 증명하는 문제인데 출제자는 답이 있는 것처럼 말했습니다.
미안하지만 원래 문제 다시 올려 주세요.
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2 차원 공간이라면....
a, b 가 1,2 으로 연결되면 그 모양이 어떻게 되든 간에 두 개의 2 차원 공간으로
구획이 됩니다. 점 사이에 4 개의 선이 있고 a-1-b-2-a 로 연결되는 선이 하나의
폐곡선을 이룹니다. 하나의 폐곡선이 생기면 2 차원 공간에서 보면 폐곡선 내부와
외부가 생깁니다. 다시 3 이라는 점을 연결하도록 해 봅시다. 3 은 폐곡선의 내부에
있던지, 외부에 있던지 두 개의 공간 중 하나에만 존재합니다. 그렇지 않다면 선이
서로 닿게 되어 문제의 조건을 어기게 됩니다. 3 이 a,b 와 연결이 되면 다시 세개의
2 차원 공간으로 구획이 됩니다.
a-1-b-2-a, a-2-b-3-a, a-3-b-1-a
3 이라는 점이 폐곡선 내부에 있을수도 있습니다. 3 이라는 점이 폐곡선 외부에 있는
경우라면, 1 이 3-a-2-b-3 안에 들어가던지, 2 가 3-a-1-b-3 안에 들어가던지
두가지 경우 중 하나가 될 것입니다. 세 가지 모든 경우에 공통적인 것은 1,2,3 중 한 개의
점은 나머지 점을 연결한 폐곡선 안에 갇히게 된다는 점입니다.
순서나 기호를 달리 해 보아도 마찬가지입니다.
이제 c 라는 점이 어느 구획에 있더라도 결국 1,2,3 중 하나의 점과는
분리될 수 밖에 없습니다. 위에서 설명한 세 가지 경우 중 1 이 a-2-b-3-a 폐곡선
안에 갇힌 경우를 생각해 봅시다. c 가 a-2-b-3-a 바깥에 있다면 c 에서 출발한 선은
폐곡선을 교차하지 않고서는 1 에 연결될 수 없습니다.
c 가 그 안 쪽에 있다면 a-1-b-2-a 이나 a-3-b-1-a 안에 있게 됩니다.
a-1-b-2-a 안에 있다면 결국 3 과 만날 수
없고 a-3-b-1-a 안에 있다면 2 와 만날 수 없게 됩니다.
수자를 바꾸어 보아도 마찬가지입니다. 어떠한 경우에도
3 차원 이상이 아니라면 결국 세 개의 점을 다 연결할 수 있는 방법은
없다는 결론입니다.
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