이진석 [itsia] 04-10-25 20:18

 

  일반항으로 표현하기 조금 복잡하네요;; f(N) = sigma(k=1 ~ N){pow(sqrt(2)/2, k-2)*sqrt(2)} + pow(sqrt(2)/2, N-2)*sqrt(2) 일까요.

f(1) = 1
f(2) = sqrt(2)/2 + sqrt(2)/2
f(3) = sqrt(2)/2 + 1/2 + 1/2
f(4) = sqrt(2)/2 + 1/2 + sqrt(2)/4 + sqrt(2)/4
이런 꼴인 듯 합니다.

억, 일반항 틀린 거 같다;

백승현 [bsh98] 04-10-26 02:23

 

  아닙니다.
이런 류의 문제들이 대개 그러하듯, 답은 매우 간단합니다..;;

권성오 [vien] 04-10-26 11:09

 

  f(N) = 160930cm

김경환 [회의주의] 04-10-26 12:59

 

  f(N) = sqrt(N) 인듯 합니다.

백승현 [bsh98] 04-10-26 14:52

 

  김경환님 맞습니다. 풀이도 써주세용;

김경환 [회의주의] 04-10-26 22:59

 

  제 풀이는 아래와 같습니다.

(1) N= 2 일때,

A와 B를 연결하는 길중 조건을 만족하는 것은 두 직선이 한점에서 직각을 이루면서 연결되는 경우입니다.
왜냐하면,
이점을 P 라고 하면 BP를 반지름으로 하는 원을 그렷을 때 AP는 이원에 접하게 되고 따라서 A에서 P를 향해 걸어갈때, 점점 B와 가까워 질 수 있고,
만약 접하지 않는다면 이 원과 두점에서 만나게 되어 A에서 P를 향해 걸어갈 때, B에서 점점 멀어지는 구간이 존재하게 됩니다.

이렇게 직각으로 연결되면, 직각삼각형APB가 생기게 되는데 , 이때 AP + BP 가 가장 크게 되는 것은 AP = BP 인 경우 입니다(증명 생략)

따라서 N = 2 일때는 AP = BP = 1/루트2 이므로 f(2) = 루트2 가 됩니다


(2) N= 3 일때

위에서와 같은 이유로 3 직선은 AB 밖에서 서로 직각으로 만나야 합니다.
서로 직각으로 만나는 두점을 각각 P,Q라고 할때,
AP와 PQ 가 직각으로 만나고 PQ와 QB 가 직각으로 만납니다.
이때에 (1) 번의 경우에서 처럼, AP와 PQ는 AP = PQ 일때 최대 길이가 되고,
PQ와 QB 역시도 PQ = QB 일때 최대가 되므로, AP = PQ = QB 입니다

이러한 조건과 피타고라스 정리에 의해 AP = PQ = QB = 1/루트3 이 되고
따라서 f(3) = 루트3 이됩니다. (풀이 생략)

(3) N= 4 일때도 역시 마찬가지로 생각할 수 있으므로
f(4) = 루트4 가됩니다.

(4) 따라서 N=n 일때는 f(n) = 루트n 이 될 것입니다.

권성오 [vien] 04-10-27 02:11

 

  아~ 그럼 sqrt <- 이게 루트에요? 저게 뭔가 했네요 ㅋㅋㅋ
풀이를 이해 하지는 못하겠지만은.. 제가 올린 답은 제일 가까운 거리 인가요?
쉽다길래 그냥 f(N) = N 이라고 하면 썰렁해서 1마일을 cm로 바꿔서 올린건데 ㅡ.ㅡ;;;

백승현 [bsh98] 04-10-27 02:14

 

  풀이가 잘못된 것 같습니다. 일단, N=2의 경우에 선분 AB를 밑변으로 하는 둔각삼각형 PAB (P가 둔각)을 생각해 볼 경우,  A에서 P를 거쳐 B로 가는 길은 매 순간 B와의 거리가 가까워지는 루트가 됩니다. 즉, 굳이 직각이어야만 할 필요는 없는 셈이죠.
또한, N=3 일 경우엔 실제 답에 해당하는 루트의 AP, PQ, QB의 길이와 같지 않을 뿐더러,
서로 직각으로 만나지도 않습니다..

김경환 [회의주의] 04-10-27 09:07

 

  알겟습니다. 다시한번 생각해 보겠습니다.

그렇지만..
N = 2 일때,, 말씀하신대로 둔각삼각형 PAB 도 매순간 B 에 가까워 지고 있기는 하지만
가능한 가장 먼 길은 아니라고 생각되는 데요..
예를 들어, 님의 말씀대로 조건을 만족하는 둔각삼각형 PAB 가 있을때, 가는 거리는
AP + BP 입니다.
여기서 BP를 반지름으로 하는 원을 그리고 A에서 이 원에 접하는 접선을 긋고 그 접점을
P' 라고 하면 , 삼각형 AP'B 도 문제의 조건을 만족하면서 또한  둔각삼각형 PAB  보다 이동거리가 더 멀어 지게 됩니다.
이러한 생각에서 저는, 문제에서 가장 먼 길을 찾으라고 했으므로 문제의 조건을 만족시키려면 직각삼각형이 되어야 한다 라고 생각하고 풀었습니다..
제가 뭘 잘못 생각한건지 설명해주시면 감사하겠습니다.

백승현 [bsh98] 04-10-27 11:23

 

  네.. N=2 일 경우에 이등변 직각 삼각형이 되어야 하는 건 맞습니다. 하지만 쓰신 풀이에 '만약 접하지 않는다면 이 원과 두점에서 만나게 되어 A에서 P를 향해 걸어갈 때, B에서 점점 멀어지는 구간이 존재하게 됩니다. ' 이런 부분이 있는데요. 둔각 삼각형의 경우에는 원과 접하지 않지만, 멀어지는 구간이 존재하지 않기에 저렇게 쓴 것입니다..
그리고, N=3 일 때 각 구간의 거리가 1/sqrt(3)이 맞습니다;; 제가 착각했습니다.
제가 이해가 안 가는게 있다면, AP, PQ, QB 가 직각으로 만난다고 하셨는데, 그렇다면, 결국 APQB 가 직각 사각형이 되는데, AB = 1 이고, AP, PQ , QB = 1 /sqrt(3) 인 직각 사각형은 존재하지 않는데; 제가 뭔가를 잘 못 이해한 건지 궁금합니다.

이진석 [itsia] 04-10-27 11:26

 

  AP와 PB, PQ와 QB는 각각 직각으로 만나지만 AP와 PQ는 직각으로 만나지 않을 듯 합니다.

김경환 [회의주의] 04-10-27 12:22

 

  제가 표현이 서툴렀습니다.
만약 접하지 않는다면 ...이라고 쓴것은 원과 두점에서 만나는 것을 염두하면서 표현했었습니다.
접하지 않고 둔각이 된다면 최대 길이가 안된다고 표현을 했어야 했는데...

그리고, AP, PQ, QB 의 직각관계에 대해서는 이진석님이 말씀해주신대로 입니다

먼저 AP와 PB 가 직각으로 만나게 되고 . 다시 PB를 전체 길이로 본다음 PB 밖의 점Q에 대해서 PQ와 QB 가 직각이 되게 한다면 전체적으로 직사각형이 아니게 될 것입니다.

이점도 제가 "위에서와 같은 이유로 3 직선은 AB 밖에서 서로 직각으로 만나야 합니다" 라고 썼기 때문에 생긴 오해인것 같습니다.
전체적으로 제가 표현이 서툴렀습니다.

김경환 [회의주의] 04-10-27 12:43

 

  자세히 읽어보니, 표현이 서툴렀던게 아니라,  제(2)번 답변에 문제가 있군요...
다시 생각해보고 올리겠습니다. 죄송...

김경환 [회의주의] 04-10-30 10:56

 

  N=3 인 경우가 잘 해결이 안되는군요...
출제자님..풀이를 좀 올려주시면 감사하겠습니다..