이현도 [hotsword27] 11-04-28 19:01

 

  흠, 제눈엔 무한이 필요없는 지극히 평범한 문제같은데
정내혁님의 생각이 어떤건지 궁금하네요. 차후에라도 댓글 부탁드립니다.

방원배 [proofsky] 11-04-28 19:47

 

  어이없는선생님들 많아요 ㅋㅋ 저 중학교때 사회시험에서 적조에 관한 주관식문제가 있었는데 적조현상이라고 쓴 얘들만 정답처리하고 적조  쓴얘들은틀리게함 ㅡㅡ
따지니까 선생님 왈 "난 문제지에있는거 그대로 냈고 그 문제지답이 적조현상이었으니까 적조 는 틀린거지" 하면서 때림
문제에 몇글자라고 명시되있던것도아니고 ;; 적조,적조현상 둘다맞는건데

이재호 [bobbyfischer] 11-04-28 22:50

 

  전 문제보다 자랑거리가
왜 이렇게 눈에 띄는지ㅎㅎㅎ

임재광 [limkong] 11-04-28 23:10

 

  답은 3 번이고 먼저 문제에 대한 답부터 드리자면 비례식으로 푸는 문제네요
수학교사로서 한마디 하자면

도대체 수학을 얼마나 잘하길래 학교시험문제 보고 한심하다고 하는건지 참
아직 중2인데 여태 수학을 100점맞은것과 전교1등을 계속한것가지고 수학선생님이
어떻고 문제가 어떻고 왈가왈부하는것이 수학에 대해 얼마나 아는지 물어보고싶군요
그 잘난 증명좀 봅시다. 이런 한심한 문제를 여기에 올리는것 자체가 여기에 있는
멘코회원분들한테 예의가 아니라고 봅니다. 여기계신분들은
각자 삶에 충실하며 자존감이 강하고 남들보다 좀더 높은 지능지수와 논리적인 사고
를 생활로 하는분들인데 마치 자신의 생각이 정답인것마냥 이런식으로 올리는것은
지극히 유아적인 태도가 아닌가 싶군요. 이 리플로 제가 여기서 제명되더라고
할말은 뭐 해야겠습니다. 말도안되는 무한을 들먹어가며 뭐가 잘못된건지
좀 봅시다.

임재광 [limkong] 11-04-28 23:16

 

  당연히 무한에서 무한을 뺀다라는건 빨강에서 파랑을 뺀다라는것과 마찬가지의 생각입니다. 당연히 무한에서 무한을 뺀다고 해서 0이 되는것도 아니고 무한이 되는것도 아니고 수렴할수도 있고 발산할수도 있고 무한의 정의를 뭘로 알고있기에 누구한테 들었기에 그런지 모르겠습니다.

박성균 [seintex] 11-04-28 23:44

 

  음.. 어제 가입해서 이제 이런 글들을 보는데 무슨일이 있었는건지..ㅎㅎ;
무한에서 무한을 빼면 뭐라고 장담을 할수는 없죠 ㅎㅎ

진창완 [jhj9144] 11-04-29 00:40

 

  머가 문제인지
무슨 문제인지만 봅시다.

임재광 [limkong] 11-04-29 07:36

 

  a=4ab-b , b=10bc-c c=6ca-a  abc=0 이 아님

1/a + 1/b + 1/c 의 값을 구하라는거였습니다

이현도 [hotsword27] 11-04-29 10:27

 

  아직 lim를 안배웠을테니 간단히 설명할께요.
n이 무한이라고 합시다.
(2n) - (n) 을 하면 무한-무한이 무한이 나오는게 맞지만,
( n+1 ) - ( n ) 은 분명 무한-무한이지만 1이라는, 무한이 아닌 값이 나옵니다.
따라서 무한-무한의 값이 이렇다저렇다고 말할수는 없는거죠.

대체 문제의 어디에 무한이 들어갈 여지가 있는지는 모르겠으나
일단 물어보신 내용에 대한 답은 위와 같습니다.

정내혁 [math_star] 11-04-29 22:02

 

  제가 그런 건방진 글을 쓴 것은 진심으로 죄송하지만, 그 문제가 틀렸다는 생각에는 변함이 없습니다.

a=4ab-b에서 b를 묶습니다
a=b(4a-1)에서 4a-1로 나눕니다
a/(4a-1)=b를 두번째식에 대입합니다

a/(4a-1)=10ac/(4a-1) - c에서 4a-1을 곱합니다
a=10ac-4ac+c=6ac+c 우변을 c로 묶습니다
a=c(6a+1) 양변을 6a+1로 나눕니다
a/(6a+1)=c

마지막식에 대입합니다
a/(6a+1)=6a^2/(6a+1) -a
a=6a^2 -6a^2 -a
a=-a
a=0

시간이 없어서 남은 내용은 다음에 쓰도록 하겠습니다

임재광 [limkong] 11-04-29 22:57

 

  근데 조건에서 abc=0 이 아니라고 했으니까 a=0 이 아닙니다.
또한 4a-1 로 나누는것조차 a 가 1/4 이 아니라는 보장이 없으므로 나누지도 못합니다
나누려면 a=1/4 가 아니라는 조건을 붙여줘야 합니다

참고로 말씀드리면 3개의 식과 3개으 미지수이므로 a,b,c 가 1개 이거나
2개로 결정될텐데 2개가 결정되면서 a,b,c 가 0 이 되는 부분을 뺏을겁니다.
a=x b=y c=z 로 생각하고 좌표평면에 그려보면 아마도 겹쳐지는 접은 두개인데
한곳이 아마도 a,b,c 중에 0 이게 될겁니다. 그럼 나머지 한 점이 답이죠

답임선생님께 사과하기 바랍니다. 남자답게

진창완 [jhj9144] 11-04-30 00:59

 

  1
a=(4a-1)b 에서 a는 0이 아니므로 4a-1도 당연히 0 이 아닙니다.
그냥 눈으로봐선 문제오류 맞는거 같은데...요

정내혁 [math_star] 11-04-30 08:29

 

  a가 1/4가 아니라는 것과 -1/6도 아니라는 것은 대입해보면 바로 알 수 있습니다.

또 무한 얘기를 꺼낸 이유는 선생님이 어제 그저께 교무실로 불러서 훈계조로 말씀하시면서 a는 무한이라고 하셨다는 것입니다.

그런데 a가 무한이면 식에 대입해서 b,c 전부 유한수가 나오는 것이 불가능한데요, 그럼 결국 답은 0이 됩니다.

그래서 그걸 어제 말씀드렸더니 무한은 고등과정이니 더 들어가지 말자면서 말씀을 돌리시네요...

제가 111에 증명한 내용은 전부 제가 배운 과정 내에서 증명한 건데 말이죠...

그리고 말씀하신게 1/a이 0이라는 겁니다.

그리고 종이 쳐서 다음 수업에 들어갔지요.

그럼 무한이나 -무한 이외에 1/a으로 0이 나오는 수가 있습니까?

또 그걸 떠나서 무한은 고등과정인데 무한이 문제에 나온다는 자체로 문제가 이상한 것 아닌가요??

학교가야 되서 이만 물러가겠습니다.

p.s. 변명이지만 저는 글에 전교1등을 계속했다고 한 적이 없습니다. 최초로 전교1등을 할 뻔한 기회를 놓쳤다고 했지요.

임재광 [limkong] 11-04-30 10:30

 

  저도 흥분한나머지 좀 격한말투를 쓴것을 이해하길 바라며
말씀드리고 싶은건 정내혁군이 푼것은 연립방정식을 통해서 해를 구한것인데
저 방정식을 풀게 되면 해가 2개가 나온다라는 것입니다. (왜냐하면 유리방정식꼴)
그래서 하나는 a=0 b=0 c=0 일 때가 되는것이고 나머지 하나는 저런 연립방정식으로풀어서 구하기가 어렵다는 것이죠
a 가 무한이더라고 b=1/4 이 되고 c=1/6 이 아니면  c는 a가 무한일때 c=1/6 아니면 c=0 이 돼버립니다. 근데 abc 는 0 이 아니니까 c=1/6 이겠지요
유한수가 나오는것도 있습니다.
또한 여기서는 1/a 이 0 이라고 말하는건 안됩니다 왜냐하면 1/무한 이 0 인것이 아니라 1/a 이고 a 가 한없이 커질때 1/a 이 0 에 가까워진다라고 밖에얘기할수 없으므로
 lim 라는 기호를 쓰지 않은채 1/a 이 0이 된다라는것을 구할수 없으며
아마도 정확히 1/a 1/b 1/c 를 구할수 없기때문에 비례식으로 풀라는것같습니다.
또한 설령 a=x b=y c=z 로 두었을때
x=4xy-y, y=10yz-z , z=6zx-x 를 3차원상에 그림을 그렸을때 교점이 해답이 되는건데 (0, 0, 0) 이 한가진 자명하고 나머지 한점이 아마도 a가 무한히 커질때(무한원점 이라고 불리는곳)에서 만나지 않나 하네요
그래서 연립방정식으로는 좌표가 나타나지 않는겁니다.
이상 제 생각이고 궁금한것이 있다면 더 물어보시기 바랍니다. 제가 아는한에서는
최대한 답해드리도록 하겠습니다.

정내혁 [math_star] 11-04-30 12:49

 

  그러나 확실한건 중2 과정 내에서는 문제에 맞는 해답을 구할 수 없다는 겁니다.

a, b, c 값을 구하지 못하는데 1/a + 1/b + 1/c의 값을 구할 수 있다는 것은 재료 없이 요리를 하고 컴퓨터 없이 컴퓨터게임을 하고 피아노 없이 피아노를 연주한다는 것과 다름이 없습니다.

조건이 틀렸다면 방법이 어찌 됐든 결과도 틀린 게 아닌가요?

또 1/a이 0이라고 말할 수 없다면 선생님의 설명이 틀린 게 됩니다. 1/a가 0이라고 분명히 말씀하셨으니까요.

게다가 또다른 수학 선생님의 풀이 과정은 이렇습니다.

첫식 변형
a=4ab-b
a+b=4ab
1/b + 1/a=4

마찬가지로 나머지 두 식도 변형을 하면 이렇게 됩니다.

1/a + 1/b = 4
1/b + 1/c = 10
1/a + 1/c = 6

그래서 모두 더하고 양변을 2로 나눠서 답은 10이라는 건데요,

첫식과 마지막식을 더하면 2/a + 1/b + 1/c = 10이 나오는데요,

여기서 두번째식을 빼면 2/a = 0이 나옵니다.

양변을 2로 나눠주면 1/a = 0이지요.

1/a를 0이라고 말할 수 없다면 이 풀이 과정도 틀린게 되는것 아닌가요?

p.s. 나머지 한 해를 구해 주시면 감사하겠습니다. 1/a + 1/b + 1/c가 10이 되는지 알고 싶네요.

임재광 [limkong] 11-04-30 14:06

 

  저의 풀이는 이렇습니다
 1/a + 1/b + 1/c = ab+bc+ca / abc
 (a+b)/4=ab (b+c)/10=bc  (c+a)/6=ca
 각 양변에 c, a, b 를 순서대로 곱해주면
c(a+b)/4 = abc  a(b+c)=abc  b(c+a)/6=abc

따라서 c(a+b)/4=a(b+c)/10=b(c+a)/6= k  라고 놓습니다. abc= k 인거죠
그러면 ac+bc=4k
          ab+ac=10k
          bc+ab+6k
다 더하면
  2(ab+bc+ca)=20k
따라서
ab+bc+ca=10k 이므로 10k/k = 10
이렇게 구했습니다.



1/a 을 0 이라고 얘기할수 없다라는 의미는 여기에서 lim 기호를 쓰지 않았고
a가 무한대라는것을 모르기때문에 실제로 1/a 가 0 이더라도 a가 무엇이냐하는
의문이 생기기 때문에 중학생들에게 별로 추천하고싶은 풀이가 아니라는겁니다.
문제에서 원하는건 a가 어떤값이건 1/a+1/b+1/c 를 구하라는것이기 때문에
그부분에 신경을 더 써야하지 않나합니다.
그리고 나머지 한해의 정확한 좌표를 구하는것은 저도잘모르고 아마도 무한원점일테니까 나중에 공부더 열심히해서 찾아보시기바랍니다.

이재호 [bobbyfischer] 11-05-01 01:01

 

  전 현재로써는 수포자라 무슨 문제인지 잘 모르겠지만
몇가지 의견을 달아봅니다.

(확실한건 중2 과정 내에서는 문제에 맞는 해답을 구할 수 없다는 겁니다.)
이말에 오류가 있지 않을까? 하는 생각이 듭니다.

일단 기본적으로 문제를 만들면 그건 선생님들이 검토를 해볼겁니다.
그런데도 불구하고 중 2 과정으로 배워서 풀수없는 문제를 만들었다는것....
이상하다고 생각하네요...
이말인즉슨 고등학교 과정을 배우지 않은 사람은 못푸는문제죠?
풀 수 있는 사람이 극소수라는 말이 되는데...이걸 문제로 냈다구요?

오류 아닌가요?

진창완 [jhj9144] 11-05-01 01:08

 

  11재광님..제가볼땐 이 상황은 마치
x+y=1, xy=1에서 (x^2)+(y^2)의 값을 구하라는 것과 같습니다.
그 값은 당연히 -1로 구할 수 있지만,
여기서 문제는 적어도 한 미지수의 값이 허수가 나온다는 겁니다.
범위를 넓혀 본다면 이것을 오류라고 하지 않습니다.
하지만, 허수의 개념이 나오기전인
16세기의 이탈리아의 의사이자 수학자인'지롤라모 카르다노'는 대수학을 다룬
그의 저서[위대한 기술]에서 임의의 3차방정식을 푸는방법을 제시했는데요.
일부 3차방정식에서는 최종적으로 얻어지는 해는 실수임에도 불구하고,
중간 결과들 속에 음수의 제곱근이 포함되었습니다. "명백하게 불가능"하지만,
실제로 도출되버린 음수의 제곱근을 보고 카르단은 "궤변적인 결과"라고 칭했습니다.
그 때의 상황에서 절대적으로 오류인 상황이었던 거죠.

마찬가지로 중학교 2학년에서 저런 문제를 낸것은 물론
의도치 않게 우연히 맞아떨어짐으로 발생한 실수였겠지만,

답의 도출이야 물론 간단하게 하였을 것이고 그것을 떠나 그 각각의 값이
배운 내용에서 벗어남을 파악하고 "문제 오류"로 답을 제출한
정내혁군은 제가볼때 16세기 "허수"의 단어를 도입한 오일러로 보입니다.

다른 학생들 중에도 그들이 아는 가장 간단한 풀이방법인 대입을 시도해봤을테니
그부분을 파악한 학생들이 분명 있었을 겁니다. 하지만
먼가 이상하긴해도 다들 3번이라고 적어냈겠죠.
정황상 내혁님처럼 그런 행동을 하는것은 힘듦니다. 하지만 그가 했죠.
참고로 제는 정내혁군을 전혀 모르고, 선생님들에대해 안좋은 감정도 일절 없습니다.

간단하게 답을 도출할 수는 있지만,
각각의 근에대한 설명은 명백히 아직 극한도 배우지 않은 중2과정을 넘어섭니다.
정내혁군이 a,b,c각각의 값을 구할 수 없으므로 답을 도출할 수 없다고 생각하는것은 음수의 존재를 수용하기전에는 간단한 대수방정식 x+5=0도 해가 없다고 간주한것과 다르지 않다고 보이므로 그의 의견은 이해가 가능합니다.
저는 이것을 선생님께서 미래의 재능있는 수학도에 대한 아량이 있으시다면,
정내혁군의 답안지를 보는 순간 기특해하며
'아..우연히 숫자가 맞아버렸다, 틀린건아니지만 이건 복수정답으로 해줘야겠구나'
이라고 하시는 쪽이지, 이 문제는 전혀 틀리지 않다며 과정을 넘어선 설명을
계속 하면서 혼내는 것은 맞지 않다고 생각합니다.

이 사건에 대한 제 객관적인 판단은 내혁님을 응원합니다. 수학접지마요..화이팅!

임재광 [limkong] 11-05-01 01:53

 

  1
생각을 잘 정리해주셔서 감사드립니다. 수학사에 대해 많은 지식을 겸비하신거에 대해 감탄하며

네 그렇죠 자라나는 새싹을 제가 너무 막대한것같기도 하고 그렇습니다.
수학시험문제는 수학선생님들이 문제집보면서 짜집기 하면서 내는문제가 아니라
며칠동안 생각하고 고민하며 그 교육과정에서 꼭필요한 문제들과
학생들을 변별하기 위한 난이도 조절을 통해 굉장히 심사숙고해서 내고있습니다.
그런 노력들을 알지 못하고 단지 의견제시가 아니라 무조건 틀렸다
한심하다 라는 표현에 욱(매우)했던겁니다.

연립방정식을 통해 a,b,c 를 직접구할수 없기 때문에 답을 구할 수 없다
라고 생각한 내혁군의 생각에 대해선 창완님의 생각(휼륭함)과 동의를 하구요

그렇지만 중2 과정으로도 구할 수 있다
그렇기 때문에 문제를 내보았다
본질적으로 들어가면 과정을 뛰어넘지만
그래도 비례식을 이해했다면 풀수 있는 문제라 봅니다.

의견감사드리며 이미 제가 단 리플에 대해선 책임을 져야 하므로
어떤 충고, 비판 감사히 듣도록하겠습니다.
저도 뭐 내혁군에 대한 악감정은 없죠 얼굴도 몰르뿐더러
그래도 다음부터는 '나는 ~~~~게 생각했다' 여러분들의 생각은?
이렇게 묻는것이 올바르지 않나 생각이 되었던것 같습니다.

진창완 [jhj9144] 11-05-01 02:17

 

  1
네!! 고맙습니다.
제가 그의 수정전 글을 보지 못했기에 그런내용은 파악하지 못하였습니다.
정내혁군이 이 글에다가 그 순간에 느낀 수학선생님에대한 비판 등
여러 울분을 터트렸나보군요. 확실히 그점은 어떻게 할 수 있는게 아니네요.ㅎㅎ

사실 이 사건에대해 선생님이 답을 수정하시는것은 거의 불가능하다는것을 알지만,
단지 저는 이것으로 재능도 있고, 수학에대한 애정이 있는 한 아이의 그 마음이
틀어질까하여..그냥 도와주고 싶었습니다.

@@정내혁님
아시겠지만 자신의 생각을 전할때 주관이 개입하면 논리성이 떨어지게 됩니다.
아무리 혼란스러운 상황에서도 그부분을 더 신경써주시면,
분명 훌륭한 OOO가 될 수 있을거에요.

이재호 [bobbyfischer] 11-05-01 18:24

 

  OOO->존내쉬

손장혁 [usdream] 11-05-01 23:34

 

  저도 위 문제가 모순된 값에대한 오류라고 보고, 그 문제 자체에 들어있는 의미(출제의도)는 이상이 없다고 생각합니다. 모두들 훌륭합니다!ㅎ 특히 진창완님 대단하십니다^^