임의의 수학 명제를 몇 개의 유한한 수학기호의 집합으로 정리한후,
그 기호 각각에 숫자를 대응시켜 소인수분해형식의 제곱하는 항에 넣어서
각각의 수학 명제에 괴델의 수라는 것을 최종적으로 대응시킵니다.
수학명제 <=> 괴델의 수, 라는 1대1 대응 관계를 만들죠.
그 후, 논리적으로 말이 되는 괴델의 수를 정의합니다.
최종적으로는 임의의 명제의 집합(괴델의 수의 집합)에서
논리적으로 도출 될 수 있는 명제의 집합이
논리적으로 말이 되는 괴델의 수의 진부분집합임을 보입니다.
그것은 곧 무슨 뜻이냐면
어떠한 무모순인 공리집합 체계를 세우더라도 그 안에서
증명불가능인 논리적으로 참인 명제가 항상 존재한다는 것이죠.
이것이 괴델의 불완전성 제 1정리입니다.
그리고 그로부터 '비교적 간단하게'
모든 논리적으로 참인 명제를 포함하는 수론체계는
그 안에서 반드시 모순적임을 증명할 수 있습니다.
이것은 괴델의 불완전성 제 2 정리이구요.
참고로, 자연수에 대한 수론이 완성되면,
그로부터 정수->유리수->실수->복소수, 까지는
어떠한 새로운 공리없이 자연수 체계 내에서 정의 될 수 있는 것들이라
사실상 수론은 모든 수학의 토대가 된다고 수학자들은 믿었고
수학자들은 수론의 완벽한 공리체계를 세움으로 수학을
논리라는 기반위에 확고히 하고자 했죠. 그러나 그 모든 노력들은
po시망wer
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