일단 문제에 오류가 있었던 점 사과드립니다.
문제 수정
5이상의 소수의 집합을 P, 그 원소를 p라고 할때,
모든 p에 대하여 p^2-1이 24의 배수임을 증명하여라.
풀이.
p^2-1=(p-1)(p+1) 이 2^3, 3을 인수로 가짐을 보이자.
p는 5이상의 소수이므로 p=3n+1 또는 p=3n+2
if(p=3n+1)
(p-1)(p+1)=(3n+1-1)(3n+1+1)
=3n(3n+2)
if(p=3n+2)
(p-1)(p+1)=(3n+1)(3n+3)
=(3n+1)(n+1)3
따라서, (p-1)(p+1)은 3을 인수로 갖는다.
이제 (p-1)(p+1)이 2^3을 인수로 가짐을 보이자.
p는 5이상의 소수임으로 p=2n+1
(p-1)(p+1)=(2n+1-1)(2n+2)
=(2n)(2n+2)
=4n(n+1)
=8k (n과 n+1중 둘중 하나는 반드시 짝수이므로)
따라서 (p-1)(p+1)은 2^3을 인수로 갖는다.
따라서 모든 p에 대하여 p^2-1은 24의 배수다.
학교에서 방과후 시간에 내주신 문제인데 재밌어서 올립니다~
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