박준연 [3735943886] 17-02-06 13:55

 

정답 330회

1. 1에서 20까지 자연수가 적혀 있으며 총합은 210, 평균은 10.5, 분산은 33.25(665/20)이다. -- 자명
2. a, b 두 수를 선택하여 a-1, b+1의 조작을 가하게 되어도 총합 및 평균은 바뀌지 않는다. -- 자명
3. 더 이상 조작 할 수 없는 최종 상태는 {10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11}이며 역시 총합 210, 평균은 10.5이다. 이때의 분산은 0.25(5/20)이다. -- 자명
4. 매번 조작 할 때에 큰 수에서 1을 빼고 작은 수에 1을 더하므로, 조작을 할 수록 최초 상태에 비해 분산은 점점 감소 하며, 1회 조작으로 분산감소를 최소화 시키는 값은 -0.1(2/20)이다. -- 증명생략 (2 차이나는 두 수를 선택하여 조작하면 분산이 0.1 감소한다)
4a. 1에서 20까지 적힌 최초의 상태에서 첫 1회 조작할 때에, 분산감소를 최소화 하는 방법은 2 차이나는 두 수를 선택 하여 조작 하는 방법이다. 즉 1,3을 선택했다면 1회 조작 후, 숫자는 {2, 2, 2, 4, 5, 6, 7, 8, ..., 19, 20} 이 되며, 이때의 분산은 33.15(663/20)이다.
5. 따라서 가장 많이 조작 할 수 있는 방법은 최대 330회 (33.25 - 0.25) / (0.1) 이하 이다.
5a. 여기서 정답이 330회 이하라는건 증명되나 330회가 가능한지의 증명은 생략함. 직접 해보면 330회의 조작이 가능한 순서를 구할 수 있음.

박준연 [3735943886] 17-02-06 14:07

 

부록으로, 최소한의 조작으로 최종 상태까지 가는 횟수는 45회이다. (9+8+7+6+5+4+3+2+1회)

정원용 [areekaree] 17-02-06 22:00

 

분산으로 접근하리라는건 생각도 못했네요~  감사합니다.^^