손아람 [zendosa] 12-07-28 12:01

 

1. 본식의 a,b 를 x로 치환하여 f(2x/3) = fx 를 얻는다.
2. 1식을 치환하여 f(2x) = f(3x) 를 얻는다.
3. 본식의 a,b를 x,2x로 치환하여 fx = f(2x) 를 얻는다.
4. 2,3 으로부터 fx = f(2x) = f(3x)
5. 본식의 a,b 를 3a, 3b로 치환하여 f(a+b)= ( f(3a)+f(3b) ) / 2 를 얻는다.
6. 4,5 로부터 f(a+b) = ( fa+fb ) / 2
7.
자연수 k에 대해 k 이하의 모든 정수에서 fkx = fx 였다고 가정하자.
이때 f(k+1)x =( f(kx) + fx ) / 2 = fx 이다.
8. 4,7로부터 귀납조건을 충족하므로 임의의 자연수k에 대해 f(kx) = fx 이다. 이는 k가 음의정수일 때도 같다.
9.
임의의 0아닌 유리수 q=m/n (m,n은 0아닌 정수)  에 대해  f(mx) = f (nx) 이므로
치환하면 f(qx) = fx 이다.
10. 9의 x에 1을 대입하면 함수 f는 유리영역에서 상수함수 임을 알 수 있다.

결론
유리영역 Q에서 f((a+b)/3)=(f(a)+f(b))/2 를 만족하는 모든 f 는
f=t (t는 상수)

손아람 [zendosa] 12-07-28 20:06

 

If  조건만 증명. 상수함수는 명백히 only if조건을 만족하므로
Iff인 모든 함수에 대해 증명됨